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Mathematische Unsicherheitstheorien
Disziplinen wie Fuzzy Logic und Wahrscheinlichkeitsrechnung fallen in der Mathematik in den Bereich der
"Unsicherheitstheorien". Diese Theorien lassen sich nach der Art der durch sie berücksichtigten "Unsicherheit" unterscheiden. Auch wenn man hier sehr viele Arten der Unsicherheit
voneinander differenzieren kann, sollen im weiteren nur zwei Arten behandelt werden: die lexikale und die stochastische Unsicherheit.
Stochastische Unsicherheit
Die stochastische Unsicherheit bezeichnet die Unsicherheit gegenüber des "Eintreffens" eines bestimmten Ereignisses. Betrachtet sei hierzu Aussage 1:
Aussage 1:
Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen, beträgt 0.8.
Das Ereignis selbst, das Treffen des Ziels, ist klar definiert - knapp vorbei ist auch daneben. Unsicherheit besteht nun aber darüber, ob
das Ziel getroffen wird. Diese Unsicherheit ist durch die Angabe einer Eintrittswahrscheinlichkeit (im Beispiel 0.8) quantifiziert. Solche Aussagen lassen sich mit Hilfe der Stochastik auch
weiterverarbeiten oder mit anderen Aussagen verknüpfen, z.B. mit Hilfe des Bayesschen Kalküls der bedingten Wahrscheinlichkeit.
Lexikale Unsicherheit
Eine andere Form der Unsicherheit ist die
sprachliche Unsicherheit, auch lexikale Unsicherheit genannt. Hiermit wird die Unsicherheit bezeichnet, die in der Definition der von Menschen täglich benutzten Begriffe steckt. Betrachtet man die
Begriffe "großer Mann", "heiße Tage" oder "stabile Währung", so erkennt man, daß hier in der Regel keine genaue Definition vorliegt. Ob ein Mann als "groß"
betrachtet wird, hängt von einer Reihe von Faktoren ab. In Süditalien liegt hier sicher eine andere Bewertung vor, als in Skandinavien. Auch der Zusammenhang, in dem eine solche Bewertung getroffen wird,
spielt eine Rolle, und letztlich auch die Person, die eine solche Bewertung trifft. Aber selbst für eine einzige Person und einen festgelegten Zusammenhang ist die Angabe einer festen Definition für den
Begriff "große Männer" rein willkürlich. Eine DIN-Norm, die aussagt, alle Männer ab 1,85 Meter Körpergröße seien groß, gibt es nunmal nicht. Sie wäre auch nicht sinnvoll, denn es entspricht
nicht menschlichem Bewerten, einen Mann mit 1,84 Meter als überhaupt nicht groß und einen Mann mit 1,85 Meter Größe als uneingeschränkt groß zu betrachten.
Die Wissenschaft, die sich auch mit der
Verfahrensweise beschäftigt, mit der Menschen solche Begriffe verwenden, ist die Psycholinguistik. Sie geht davon aus, daß Menschen solche Begriffe als subjektive Kategorien "abspeichern".
Verschiedene Instanzen, also Dinge der wirklichen Welt, werden danach bewertet, inwieweit sie diesen subjektiven Kategorien entsprechen.
Obwohl die meisten Begriffe menschlichen Bewertens nicht in
ihrer eigentlichen Bedeutung genau definiert sind, können Menschen jedoch hervorragend mit ihnen umgehen. Durch die Fähigkeit der Abstraktion und des Denkens in Analogien, lassen sich mit Hilfe weniger
Sätze Zusammenhänge formulieren, deren genaue quantitative mathematische Beschreibung sehr aufwendig und unübersichtlich wäre. Betrachtet sei dies am Beispiel der Aussage 2:
Aussage 2:
Es ist wahrscheinlich, daß wir einen finanziellen Erfolg haben werden.
Auf den ersten Blick weist Aussage 2 eine große Ähnlichkeit mit Aussage 1 auf. Es bestehen aber wesentliche Unterschiede:
Zum einen ist das Ereignis selber nicht klar definiert. Für manche Unternehmen mag es bereits ein guter Erfolg sein, keine Verluste zu machen, bei anderen ist es ein guter Erfolg, das Vorjahreswachstum
überschritten zu haben. Selbst für ein einziges Unternehmen ist es in der Regel unmöglich, eine feste Schwelle zu finden, ab der ein Unternehmenserfolg gut ist. Daher ist bei Aussage 2 der Begriff
"guter Erfolg" eine subjektive Kategorie.
Ein weiterer Unterschied liegt in der Wahrscheinlichkeitsangabe selbst. Statt einer quantitativen Wahrscheinlichkeit im Sinne der Aussage 1
bedeutet im streng mathematischen Sinne "es ist wahrscheinlich" in Aussage 2 nur, daß die Wahrscheinlichkeit ungleich null ist. Wie groß sie nuneinmal ist, hängt von einer Reihe weiterer
Faktoren ab. Beispielsweise, in welchem Zusammenhang die Aussage getroffen wird. Spricht man von einem besonders unsicheren Flugzeugtyp, so kann "es ist wahrscheinlich, daß es mit diesem Flugzeugtyp
Probleme gibt" bereits bei einer Wahrscheinlichkeit von deutlich unter 10% gerechtfertigt sein. Spricht man davon in ein sehr gutes Restaurant zu gehen, so kann "es ist wahrscheinlich, daß man
gut essen wird" aber auch eine Wahrscheinlichkeit von deutlich über 90% bezeichnen. Somit entspricht diese Wahrscheinlichkeitsaussage einer subjektiv empfundenen Wahrscheinlichkeit und nicht einer
mathematisch quantifizierten. In Aussage 2 ist daher der Begriff "sehr wahrscheinlich" eine subjektive Kategorie, genauso wie der Begriff "großer Mann".
Verarbeitung lexikaler Unsicherheit
Aussagen mit subjektiven Kategorien sind im menschlichen Denken, das mit den Symbolen der Sprache erfolgt sehr häufig. Bewertungen im Sinne von Aussage 2 haben
schon wesentliche betriebliche Entscheidungen bewirkt. Auch wenn diese Aussagen keine quantitativ definierten Zusammenhänge treffen, können Menschen mit diesen Zusammenhängen meist gut umgehen. Manchmal
ist gerade diese "Unschärfe" von Vorteil, da sie auch Flexibilität ermöglicht. Man stelle sich vor, Schlichter bei der nächsten Tarifrunde zwischen Gewerkschaften und Arbeitgebern zu sein. Der
Tarifstreit am runden Tisch sei bereits voll im Gange. Nun erbitte man sich Gehör und erkläre den Tarifparteien, daß sie sich doch alle ganz einfach einigen könnten, da beide doch das gleiche wollen:
einen angemessenen Tarifabschluß. Der Beifall von beiden Seiten hält dann so lange an, bis man nun versucht, in Prozent genau auszudrücken, was denn nun ein "angemessener Tarifabschluß" sei.
Wenn dieses Beispiel auch etwas überzeichnet ist, so ist doch dieses Prinzip sogar Grundlage unseres Rechtssystems. Die gesetzgebende Gewalt (Legislative) formuliert Gesetze, die gewisse
Zusammenhänge angeben. So könnte es beispielsweise ein Gesetzt geben, das einen Autodiebstahl eine Gefängnisstrafe von 2 Jahren zuweist und ein weiteres Gesetz über verminderte Schuldfähigkeit und
mindernde Umstände. Auf der anderen Seite muß dann ein Richter (Juridikative Gewalt) auf den Tag genau das Strafmaß für einen Autodieb festlegen, der aus starker sozialer Not gestohlen hat, eine schwere
Kindheit verbrachte, zur Tatzeit 0,9 Promille Alkohol im Blut hatte und dessen Frau ihn am Vortag verlassen hat. Gerade dadurch, daß Gesetze subjektive Kategorien verwenden, kann ein Richter "durch
Augenmaß" und unter Berücksichtigung aller Umstände ein ausgewogenes Urteil sprechen.
Fuzzy Logic und menschliche Logik
Die Grundidee ist folgende: Es kann gar nicht für genau jede
Situation eine Regel angegeben werden, die genau zutrifft. Die formulierten Regeln beschreiben immer nur typische Situationen, also Punkte im Kontinuum der möglichen Situationen. Durch die
"Unschärfe" der in den Regeln verwendeten Begriffe kann der entscheidende Mensch aber aus den Regeln die "etwas ähnliches" beschreiben, auch für den Einzelfall eine gute Lösung
"approximieren". Auch Abstraktionen und das damit verbundene Denken in Analogien ist erst durch die Flexibilität der "menschlichen Logik" möglich.
Fuzzy Logic entstammt dem
Versuch, ein mathematisches Modell "menschlicher Logik" zu finden. Vom "echten" menschlichen Denken mit all seinen Möglichkeiten, also von Phantasie und Kreativität, ist man da
allerdings weit entfernt. Was man mit Fuzzy Logic erreichen kann, ist die "Approximation" einer Lösung aus analogen Situationen. Anders ausgedrückt: Kann man das Verhalten eines technischen
Systems in ganz bestimmten Situationen durch Regeln beschreiben, so ermöglicht Fuzzy Logic auch für alle real auftretenden Situationen eine Lösung aus den Regeln zu bestimmen.
Fuzzy Logic und Stochastik
Gerade von Stochastikern wurde häufig angeführt, daß man Fuzzy Logic als eine neue Unsicherheitstheorie ja gar nicht bräuchte, da man mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung
bereits ein Werkzeug für Unsicherheitsmodellierung habe. Würde man die im Beispiel angegebene Aussage in einem medizinischen Lehrbuch finden und müßte man sie in ein System umsetzen, so erscheint die
Aufgabe zunächst einfach. Hat man einen Patienten, der starkes Fieber aufweist, keine auffällige Gelbfärbung der Haut aufweist, dem aber übel ist, so läßt sich mit Hilfe des Bayesschen Kalküls die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Patient an Hepatitis leidet, berechnen.
Beispiel:
Bei Hepatitiserkrankten tritt in 60% aller Fälle starkes Fieber, in 45% aller Fälle eine auffällige Gelbfärbung der Haut und in 30% aller Fälle starke Übelkeit ein.
Problematisch wird es aber,
wenn man angeben muß, was denn starkes Fieber ist. Liest man in Lehrbüchern nach oder fragt man Ärzte, so wird man keine eindeutige Antwort finden. Auch wenn sich vielleicht die meisten Ärzte daraufhin
einigen können, daß die Schwelle "so etwa" bei 39°C liegt, so heißt dies ja nicht, daß ein Patient mit 38,9°C überhaupt kein starkes Fieber hat, während ein Patient mit einer nur um 0,1°C
höheren Körpertemperatur in vollem Maße starkes Fieber hat.
Wäre das so, müßte auch die Umkehrung gelten, daß nämlich die genaue Angabe der Körpertemperatur auch die Genauigkeit der Diagnose
impliziert. Dann müßte ein Ingenieur, der mit seinem besten Meßgerät seine Körpertemperatur auf die fünfte Stelle hinter dem Komma bestimmt, von seinem Arzt auch eine ebenso genaue Diagnose erhalten
können. Nun erhält ein guter Arzt die Qualität seiner Diagnose aber nicht aus der Genauigkeit eines einzelnen Meßwertes, sondern aus der Vielzahl der betrachteten Symptome. Auf die Frage "ob man
nachts schwitzt", erwartet ein Arzt ja auch keine Angabe in Mililitern, sondern eher eine tendenzielle Antwort.
Somit handelt es sich bei der stochastischen Unschärfe um eine grundsätzlich
verschiedene Art der Unsicherheit als bei der lexikalen Unschärfe. Stochastische Unschärfe beschreibt die Unsicherheit gegenüber dem Eintreten eines Ereignisses, das Ereignis selbst ist aber immer klar
definiert. Lexikalische Unschärfe beschreibt die Unsicherheit gegenüber der Definition des Ereignisses selbst. Auch läßt sich lexikalische Unschärfe nicht mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
behandeln, da die Verknüpfung von subjektiven Kategorien bei menschlichen Bewertungs- und Entscheidungsvorgängen nicht den Axiomen der Stochastik unterliegen.
Quelle: Inform GmbH
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